TIC TAC TOE

Het spelletje Boter, Kaas en Eieren kennen we nog van de eerste klassen van de basisschool. Bij bol.com en amazon.com  is dit spel  in talloze uitvoeringen (hout, metaal, plastic enzovoort) te krijgen, maar de basisschool oerversie was een desnoods gekreukeld blaadje ruitjespapier.
Heel ver weg van dit kinderlijke spelletje treffen we de ontoegankelijke wereld van de abstracte wiskunde aan. Vreemd genoeg hebben deze uitersten met elkaar te maken. In dit verhaal zal ik proberen ook voor niet-wiskundig geschoolden deze verrassende kwestie uit de doeken doen. Mijn inspiratiebron is een hoofdstuk uit het boek Priemwoestijnen van Alex van den Brandhof.

Oerversie
De spelregels kent  iedereen: in een vierkant met drie maal drie vakjes moeten spelers om de beurt een kruisje of een rondje zetten: wie het eerst drie kruisjes of rondjes op een rij heeft (horizontaal, verticaal, of diagonaal) wint. Kruisjes en rondjes zetten worden in dit betoog vervangen door vakjes rood of blauw te  kleuren. Bovendien gebruiken we de bondiger Engelse term tic-tac-toe in plaats van Boter, Kaas en Eieren.

Figuur 1

                                                            Vb 1                            Vb2

In beide voorbeelden in Figuur 1 wint rood van blauw op overtuigende wijze. De rode en blauwe vakjes zijn afwisselend door de spelers ingekleurd.
Zelfs bij kinderen gaat  tic-tac-toe na drie potjes  al snel vervelen. Ik moet bekennen dat ik niet lang geleden van mijn dochter heb verloren, maar dat kwam omdat mijn dochter volwassen en erg slim is en ik werd afgeleid doordat onze kat in mijn gezicht begon te likken.
Kortom, tic-tac-toe in deze vorm is niet een spel dat uitnodigt wereldkampioenschappen te organiseren.  En in de bibliotheek zijn ook geen planken gevuld met boeken over openingstheorie, zoals het geval is bij schaken of dammen.

Hoe kunnen we het spel spannender maken? Uitbreidingen met meer vakjes en zelfs meer dimensies?  Als eis stellen dat een speler altijd wint, dus remise onmogelijk is?

Meer vakjes 
Waarom zouden we ons beperken tot 3 x 3 vakjes? Tic-tac-toe  met 4 x 4,  5 x 5 enzovoort hokjes is wellicht uitdagender. Vb1 en Vb2 in Figuur 1 noemen we  2-dimensionaal-formaat-3 tic-tac-toe.  In Figuur 2 staat een voorbeeld van 2-dimensionaal-formaat-4 tic-tac-toe.

Figuur 2

 
Of hogere formaat tic-tac-toe nu zoveel leuker is voor kinderen, weet ik niet. 2-dimensionaal-formaat-20 tic-tac-toe duurt in ieder geval lang en pubers  kunnen ermee wellicht de peilloze leegte in hun bestaan vullen als ouders voor straf hun mobiel hebben afgepakt.

Drie dimensies

Ik noemde de verveling die toeslaat als je een paar potjes tic-tac-toe speelt (2-dimensionaal-formaat-3) tic-tac-toe. Wordt het interessanter als we tic-tac-toe in hogere dimensies gaan spelen?
Bij een Duitse internetspeelgoedwinkel trof ik een bouwpakket aan voor een driedimensionale versie van tic-tac-toe. Het viel niet mee om die in elkaar te zetten, maar met behulp van heel wat geboor en gezaag  en met hulp van een manueel begaafde vriend is het gelukt. Hieronder het trotse resultaat:

Figuur 3

Terwijl bij 2-dimensionaal-formaat-3 tic-tac-toe (de oerversie)  er 8 manieren zijn om alle vakjes in een rijtje rood of blauw in te vullen (drie horizontaal, drie verticaal, twee diagonaal), zijn er bij de 3-dimensionaal-formaat-3 versie veel meer mogelijkheden, namelijk 53.  Hieronder zijn twee opties weergegeven. De roodgekleurde vakjes verwijzen naar de winnende speler. Blauw maakt er een beetje een potje van.

Figuur 4

 3-dimensionaal-formaat-3 tic-tac-toe kan je ook eenvoudig spelen met drie afzonderlijke vierkantjes  (2-dimensionaal-formaat-3) die je op een kladblaadje kan krabbelen. Je moet dan wel enig ruimtelijk voorstelling hebben om te bepalen wanneer er drie vakjes op een rij op treden in de kubus. Hetzelfde spel als bij Vb2 in figuur 4 ziet er in dit geval zo uit. Rood wint dus. Vergeet niet dat blauw een beetje dom speelt.

Figuur 5

Vier dimensies

Kunnen we tic-tac-toe in vier dimensies spelen? Daarvoor hebben we een 4-dimensionale superkubus nodig. Voor het geval van formaat-3 heeft zo'n kubus 3 x 3 x 3 x 3 = 81 vakjes. Hogere dimensies komen voor in sciencefiction films of bij geleerden, die zich met theoretische natuurkunde (snaartheorie) of sterrenkunde bezig houden. Is het hele idee daarom absurd?
Nee! We kunnen hogere dimensies begrijpen door vanuit één dimensie lager te denken.
Dit wordt in een ander verband uit de doeken gedaan in de onder wiskundigen beroemde, klassieke roman Flatland (geschreven in 1884) over wezens die in een plat vlak wonen en zich de derde dimensie niet kunnen voorstellen. Naar analogie kunnen wij een beetje de vierde dimensie begrijpen. Net als wij de wezens in het vlak (dat zijn in Flatland onder meer cirkels)  vanuit de derde dimensie in hun binnenste kunnen prikken zonder hun buitenkant (een cirkel) te beroeren, kunnen vier-dimensionale wezens vanuit de vierde dimensie ons in onze darmen prikken zonder onze huid aan te raken.

Bij 4-dimensionaal-formaat-3 tic-tac-toe blijven de principes hetzelfde: een speler moet een rijtje van 3 hokjes kleuren in horizontale, verticale of diagonale richting.

In het 3-dimensionale geval kan een horizontaal, verticaal of diagonaal rijtje zich uitstrekken over de verschillende lagen van de kubus (zie figuur 3 en 4).

 In het 4-dimensionale geval strekken die rijtjes (lengte 3) zich uit over de hele superkubus .
 (horizontaal, verticaal of diagonaal), maar nu ook in richtingen die we ons als simpele driedimensionale sukkels niet kunnen voorstellen.

Hoe kunnen we 4-dimensionaal tic-tac-toe begrijpen, door vanuit een dimensie lager te denken?

We hebben al gezien dat we 3-dimensionaal-formaat-3 tic-tac-toe kunnen spelen met drie 2-dimensionaal-formaat-3 vierkantjes (zie figuur 5)

Op vergelijkbare wijze kunnen we 4-dimensionaal-formaat-3 tic-tac-toe spelen met drie 3-dimensionale-formaat-3 kubussen.

Figuur 6

We zien dat het rode rijtje zich diagonaal dwars door de drie kubussen uitstrekt. Rood wint, ook al omdat Blauw er met zijn gedachten niet zo erg bij is.  De winst komt tot stand op een manier die bij een 'gewoon' 3-dimensionaal spel onmogelijk is.

We kunnen nog verder vereenvoudigen.  Ieder van deze drie kubussen rafelen we uit elkaar in ieder drie tweedimensionale vierkanten (Zie figuur 4 en 5). Je krijgt dan negen vierkanten uiteengerafeld van  drie kubussen met drie lagen. Per zet moeten we dan een van de negen vakjes in een van de negen vierkanten rood of blauw kleuren. Bepalen hoe je tot een een winnend 4-dimensionaal  rijtje kan komen, vereist bijna bovenmenselijke concentratie.

Getallenrijen

Omdat we nu eenmaal in een maatschappij leven waar diversiteit hoog gewaardeerd wordt moeten we ook rekening houden met medemensen die om religieuze redenen bezwaar hebben tegen het tekenen van vierkanten of het rommelen met kubussen. Voor hen is er ook een oplossing.

Aan elke cel van een vierkant, kubus of superkubus voegen we voor de overzichtelijkheid een rijtje getallen toe op de volgende wijze.

Figuur 7

Figuur 8

Bovenstaand spel verloopt bijvoorbeeld als volgt  uitgedrukt in getallenrijtjes,

Kortweg geschreven als:

3332
1111
1131
2222
3323
3333

Dus, samenvattend, in plaats van een fysiek vakje te kleuren schrijft de speler op het blaadje een  rijtje cijfers dat overeenkomt met dat vakje (volgens bovenbeschreven systeem). Voor de duidelijkheid doet hij/zij dit met een potlood in zijn kleur (rood of blauw).  Als er op deze manier een aantal rijtjes zijn neergekrabbeld in afwisselende kleuren, kunnen we de volgende vuistregel toepassen:
Een speler heeft een winnend rijtje als  in de drie overeenkomstige getallenrijtjes op dezelfde positie hetzelfde getal staat of  in dezelfde rijtjespositie de getallen oplopen of aflopen (1,2,3 of  3,2,1).
Dit is niet onmiddellijk in te zien, maar je kan het in bovenstaande tabel makkelijk controleren: Rood heeft op alle posities in zijn getallenrijtjes oplopende waarden (1,2,3) onder kubus, laag en per laag: verticaal, horizontaal. Blauw, de verliezer, heeft op overeenkomstige posities, (3,1,3)(3,1,3)(3,3,2) en (2,1,3) en voldoet inderdaad niet aan de overwinnaarscriteria. Wat we hier doen is in feite precies hetzelfde als hokjes kleuren in Figuur 7.  Rood mag precies dezelfde champagnefles ontkurken.

Als rood er daarna in slaagt bij een 5-dimensionaal-formaat-3 spel de volgende rijtjes te produceren dan wint hij opnieuw en moet oppassen dat hij niet dronken wordt van de champagne. Om dit te spelen moet hij van de vijfde dimensie afdalen naar de vierde en redeneren vanuit 4-dimensionale superkubussen.

Figuur 9

Superkubussen kunnen we ons niet voorstellen maar gelukkig kunnen we de vuistregel toepassen op de volgende korte weergave van de getallenrijtjes.

21321
12313
22123
22322
32131
32331 

De getallen in de drie rode rijtjes zijn op overeenkomstige posities of gelijk of lopen op en af. Voor de blauwe rijtjes is dit niet het geval. Voor de volledigheid, het opschrijven van deze getallenrijtjes is weer equivalent me het inkleuren van hokjes in de 5-dimensionale-formaat-3 superkubus. Probeer dat maar eens!

Als we het spel met getallenrijtjes spelen hebben we eigenlijk  helemaal geen (super) kubussen, of vierkanten meer nodig. We kunnen willekeurig-dimensionale spellen van willekeurig formaat spelen  zonder ons af te vragen af te vragen wat de getallen precies betekenen. Het enige wat vereist is, is concentratie om, als je aan de beurt bent, getallenrijtjes zo in te vullen dat we op overeenkomende posities de juiste getallen verschijnen of te voorkomen dat de tegenstander dit voor elkaar krijgt. Dat wil zeggen, gewoon de vuistregel toepassen.
We kunnen op deze manier op een kladblaadje  ingewikkeld zitten te tic-tac-toe-en, maar het spel lijkt dan wel gedegradeerd tot een soort boekhouden. De opwindende illusie dat we al tic-tac-toe-end in geheimzinnige, occulte hoog-dimensionale ruimtes opereren gaat verloren.

Meer dan twee spelers

Niets belet ons met meer dan twee spelers te spelen. Een 3-dimensionaal-formaat-3 tic-tac-toe  voor drie spelers ziet er dan als volgt uit

Figuur 10

Speler groen heeft spelers rood en blauw verslagen


Remise onmogelijk? 

Als je toch een spelletje aan het spelen bent, moet liefst  iemand winnen of verliezen. Onbeslist betekent in tic-tac-toe dat  alle vakjes zijn gekleurd, maar dat geen van de spelers een rijtje van het specifieke formaat in zijn kleur heeft opgesmukt. Echter, remise is een beetje saai, je zou bijna zeggen behoorlijk suf. Twee spelers zijn nooit precies even goed in tic-tac-toe en dat moet in de uitslag tot uitdrukking komen. Ik ben voorstander van een competitieve samenleving, weg met dat egalitaire. We zoeken dus naar versies van tic-tac-toe waar remise onmogelijk is.

Dit vereist enig onderzoek.
We gaan uit van twee spelers.

2-dimensionaal-formaat-2 tic-tac-toe

Figuur 11

Onmiddellijk is te zien dat hoe blauw ook speelt; rood altijd wint. De beginner zegeviert altijd. In tehuizen voor demente bejaarden schijnt deze versie opgang te maken, omdat de spelers bij het volgende potje toch al vergeten zijn wie begonnen en gewonnen heeft. 

2-dimensionaal-formaat-3 tic-tac-toe 

Het spel kan verlopen als in Figuur 11 weergegeven:

Figuur 12

Hieruit blijkt dat remise inderdaad mogelijk is. Niemand is er in geslaagd een winnend rijtje te produceren.

3-dimensionaal-formaat-3 tic-tac-toe 

Van den Brandhof legt in zijn hieronder genoemde boek op niet-wiskundige wijze uit dat bij deze versie remise onmogelijk is. De beginner kan, als hij zich niet vergist, altijd winnen.

Op grond van deze drie voorbeelden  kunnen we het vermoeden formuleren dat als het formaat gelijk is aan het aantal dimensies remise onmogelijk is: een van de spelers wint gegarandeerd, zoals we gezien hebben voor 2-dimensionaal-formaat-2 en 3-dimensionaal-formaat-3 tic-tac-toe.
Het heeft heel wat zweet en tranen gekost maar wiskundigen hebben deze hypothese inderdaad bevestigd voor het algemene geval. Stel dat twee spelers  een 8-dimensionaal-formaat-8 potje tic-tac-toe spelen (dwz op een acht-dimensionale superkubus die uit 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 vakjes bestaat). Dan weten we dus zeker dat een van de spelers wint, omdat de dimensionaliteit gelijk is aan het formaat, namelijk 8.
Met drie of meer spelers wordt het andere koek. Wiskundigen hebben ook voor dit geval een diepe stelling geformuleerd:  Voor elk formaat k (k mag dus groter dan drie zijn) en  aantal spelers r (r mag dus groter dan 2 zijn) bestaat er een getal n zodat de n-dimensionale-formaat-k versie van tic-tac-toe  met r-spelers altijd een winnaar heeft. Bijvoorbeeld voor formaat-134 tic-tac-toe  voor 28 spelers kan gespeeld worden in een aantal dimensies zodanig dat een van de 28 spelers gegarandeerd wint.
Er zit wel een addertje onder het gras. De heren mathematici blijven in zoverre in gebreke dat ze  ons  niet kunnen vertellen hoe groot n, het aantal dimensies dan wel moet zijn, gegeven het formaat en het aantal spelers (indien groter dan twee).
Maar we kunnen gerust gaan slapen in de wetenschap dat het betreffende aantal dimensies in ieder geval daadwerkelijk ergens rondzweeft.

Van den Brandhof wijst er in zijn boek op dat bovengenoemde stelling is een speciaal geval van het dichtheidstheorema van Hales en Jewett:

Deze stelling is bewezen door samenwerking van 27 wiskundigen in het internet Polymath project en de resultaten zijn gepubliceerd in het prestigieuze wiskundetijdschrift  Annals of Mathematics.

Ikzelf heb geen idee waar dit theorema over gaat, laat staan dat ik het bewijs in genoemd tijdschrift zou kunnen doorgronden. Maar, inzicht of niet, onverkort geldt dat onze reis van een kinderachtig spelletje naar  de indrukwekkende bergtoppen van de hogere wiskunde voert.

Het is aan de lezer om te beoordelen of de versies van tic-tac-toe die de revue zijn gepasseerd ook maatschappelijke relevant zijn.

Literatuur

Alex van den Brandhof, Priemwoestijnen. Hoogtepunten uit de wiskunde van de 21ste eeuw, 2019
Edwin Abbott, Flatland, A romance of many dimensions, 1884.

Consensus en de opwarming van de aarde

1.    Inleiding

Het lijkt overbodig om de AGW (Anthropogenic Global Warming) - de opwarming van de aarde door toedoen van de mens – nog uitgebreid te verdedigen. Dat de VS zich terugtrekt uit het klimaatverdrag van Parijs is wereldwijd veroordeeld, niet alleen door milieuorganisaties maar ook door regeringshoofden, een deel van het bedrijfsleven, Amerikaanse staten (o.a Californië) en vele andere organisaties.

Klimaatsceptici zijn in de minderheid, maar bekleden soms tamelijk invloedrijke posities (bv President van de Verenigde Staten).

De klimaatdiscussie op beleidsniveau wordt vertroebeld doordat politieke belangen een grote rol spelen. In de Amerikaanse Rust Belt wordt klimaatscepticisme beleden door mensen die  bang zijn hun baan in de kolenindustrie te verliezen. In huiskamerdiscussies zal iemand met een rechtse kijk op de wereld klimaatmaatregelen associëren met verfoeide milieufreaks. Bij het antwoord of er echt sprake is van AGW beïnvloeden persoonlijke belangen en politieke stellingnamen de objectieve evaluatie van feitelijk wetenschappelijk  bewijsmateriaal.

Een probleem is dat de wetenschappelijke bewijsvoering voor een leek moeilijk te beoordelen is. Klimaatverandering voorspellen en de identificatie van oorzaken is uiterst ingewikkelde wetenschappelijke materie met grote onzekerheidsmarges. Om een uitspraak te doen over de duizenden publicaties –als je al tijd had om die te bestuderen - zou je kennis moeten hebben van natuurkunde, wiskunde, oceanografie, klimatologie, geologische en atmosferische   geschiedenis en vele andere specialismes. Ook moet je vertrouwd zijn met de interpretatie van getallen. En in het algemeen met de wetenschappelijke attitude, die impliceert dat je je ook bewust bent van de grenzen van je kennis.

Wij, leken, beschikken over maar een miniem deel van de vereiste vaardigheden. We kunnen dus niet op grond van inhoudelijke kennis ons standpunt verdedigen. We moeten een beroep doen op expertise, op een informatiebron die we vertrouwen. Een dergelijk appel op basis van één publicatie, gesprek of tv-optreden is echter niet altijd overtuigend. Wij zijn erg goed in het selecteren van informatie waar we het toch al mee eens zijn.

Representatieve samenvattingen van wetenschappelijke kennis zijn betrouwbaarder. Meningen van wetenschappers zijn gebaseerd op onderzoek en serieuze publicaties zijn onderworpen aan “collegiale toetsing”.

Ik  raakte niet zo lang geleden in debat met bevriende klimaatsceptici. 

Ik bracht het argument naar voren dat ik ergens gehoord had dat 97% van klimatologisch geschoolde wetenschappers het bestaan van Anthropogenic Global Warming (AGW) onderschrijven. De repliek was dat de betreffende wetenschappers zomaar om een mening was gevraagd, dus dat dat getal niet serieus hoefde te worden genomen. Ik was enigszins verbaasd over deze redenering maar ik kon mijn claim niet feitelijk hard maken. Ik kon geen wetenschappelijke onderbouwing presenteren van hoe de kwantificering van consensus tot stand gekomen was. Ergens van gehoord hebben is niet toereikend.

Deze situatie roept dus om onderzoek. In de rest van dit artikel probeer ik daarom een op feiten en degelijke research gebaseerde motivatie te presenteren van consensus ten aanzien van AGW onder een grote meerderheid van ter zake kundige wetenschappers.

Een kort internetonderzoek leverde het volgende op. Ik baseer mij voornamelijk op verwijzingen uit de NASA website:

https://climate.nasa.gov

Het gaat hierom het artikel van Cook et al.

En de beschrijving van het werk van de onder de vleugels van de Verenigde Naties opererende IPCC.

Al met al bronnen met enig gezag.

2.    Artikel van Cook, et al.

J. Cook, et al, "Consensus on consensus: a synthesis of consensus estimates on human-caused global warming," Environmental Research Letters Vol. 11 No. 4, (13 April 2016); DOI:10.1088/1748-9326/11/4/048002

Het artikel van J. Cook et al. is een meta-analyse van een aantal  studies waar de consensus betreffende de AGW (Anthropogenic Global Warming) wordt bestudeerd. Rekening wordt gehouden met dat die consensus in de verschillende studies op diverse manieren is bepaald: via samenvattingen van peer-reviewed klimaat artikelen en enquêtes bij relevante steekproeven van (niet-) klimaatwetenschappers, openbare verklaringen van wetenschappers en wiskundige analyse van citatie patronen of combinaties van deze werkwijzen.

Ook is aandacht besteed aan hoe auteurs omgaan met informatie (in artikelen, en enquêtes) waar geen uitspraak wordt gedaan over AGW. Tevens wordt een onderscheid gemaakt tussen oordelen van experts: professionele klimaatwetenschappers vs niet-klimaatwetenschappers.

Cook et al. maken mijns inziens hun claim aan het begin van hun artikel waar:

Efforts to measure scientific consensus need to identify

a relevant and representative population of experts,

assess their professional opinion in an appropriate

manner, and avoid distortions from ambiguous elements

in the sample.’

Hun eindoordeel is dat van de duizenden in de verschillende studies betrokken wetenschappers de grote meerderheid AWG onderschrijven en dat de consensus toeneemt met de klimaatexpertise van de betrokken wetenschappers:

"The number of papers rejecting AGW [Anthropogenic, or human-caused, Global Warming] is a miniscule proportion of the published research, with the percentage slightly decreasing over time. Among papers expressing a position on AGW, an overwhelming percentage (97.2% based on self-ratings, 97.1% based on abstract ratings) endorses the scientific consensus on AGW.”

3.    IPCC

Zie http://www.climatechange2013.org/images/report/WG1AR5_SPM_FINAL.pdf

Het Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC) is een organisatie van de Verenigde Naties, opgericht in 1988, om de risico's van klimaatverandering te evalueren. Het panel bestaat uit honderden experts uit de hele wereld, vanuit universiteiten, onderzoekscentra, ondernemingen, milieuorganisaties en andere organisaties. Het IPCC doet zelf geen onderzoek, maar evalueert onderzoek dat is gepubliceerd in aan collegiale toetsing (“peer review”) onderworpen wetenschappelijke tijdschriften.
Sinds zijn oprichting heeft het IPCC een reeks rapporten gepubliceerd die gelden als referentiewerken voor beleidsmakers, wetenschappers, studenten en andere specialisten. Deze rapporten hebben een grote invloed in het milieubeleid van vele regeringen. Deze rapporten komen om de 5 à 6 jaar uit. Het vierde rapport is in verschillende delen uitgekomen in 2007, het vijfde in 2013 en 2014.
Een conclusie uit het 2014 rapport (sectie summary for policy makers)

Anthropogenic greenhouse gas emissions have increased since the pre-industrial era, driven largely by economic and population growth, and are now higher than ever. This has led to atmospheric concentrations of carbon dioxide, methane and nitrous oxide that are unprecedented in at least the last 800,000 years. Their effects, together with those of other anthropogenic drivers, have been detected throughout the climate system and are extremely likely to have been the dominant cause of the observed warming since the mid-20th century. {1.2, 1.3.1}

Ook deze conclusie is gebaseerd op gemotiveerde consensus van honderden experts.

4.    Nog meer ondersteuning

Op de NASA website staat ook een concept brief van 18 gerenommeerde Amerikaanse wetenschappelijke verenigingen, gericht aan senatoren.

https://www.aaas.org/sites/default/files/migrate/uploads/1021climate_letter1.pdf

De volgende pagina geeft bijna 200 internationale wetenschappelijke organisaties weer, die het standpunt onderschrijven dat klimaatverandering deels wordt veroorzaakt door menselijk handelen.

http://opr.ca.gov/s_listoforganizations.php

5.    Conclusie

Op grond van bovenstaande informatie ga ik ervan uit dat consensus over AGW op zorgvuldig en overtuigende wijze is aangetoond.

Consensus is, strikt logisch gesproken, op zich geen bewijs voor waarheid. Welllicht hebben al deze wetenschappers het bij het verkeerde eind of zijn door hun politieke stellingname verblind. Mode en tijdgeest spelen ook een rol.

Maar consensus over AGW in de bovengeschetste zin verwoordt het vrijwel unanieme oordeel op dit moment van de meest ter zake kundige personen in de wereld. Op deze consensus is mijn oordeel gebaseerd, dat AGW met grote waarschijnlijkheid ook daadwerkelijk optreedt.

Je moet van goeden huize komen om het tegenovergestelde standpunt te verdedigen.

Klimaat sceptici zullen wellicht gevoelig zijn voor dit argument, maar dan moeten ze er wel van op de hoogte zijn. Onderzoek aangehaald in het artikel van Cook et al. laat zien dat in Amerika een hoog percentage er een veel te lage inschatting van de werkelijke consensus op na houdt. Dit noemen zij “climate illiteracy”. Voor een deel wordt dit tot stand gebracht door het bewust verspreiden van misinformatie (zie Trump).

In hoeverre dit geldt voor Nederland is mij onbekend. Het blijft in ieder geval belangrijk de boodschap van de consensus te verspreiden.

 Frank Kok

Gepensioneerd medisch statisticus

Armeens en Georgisch

Na de terugkomst van een verre reis neemt het dagelijks leven heel snel de regie weer over. Trouwens vrienden en bekenden en vooral de jongeren onder hen zijn al op de meest onwaarschijnlijke plaatsen op deze aardbol geweest. Dus op erg veel belangstelling langer dan een half uur kunnen we niet rekenen, evenmin op meer dan een facebook "like" van onze foto's of filmpjes.
Wel interessant is de vraag wat zo'n reis nu aan enigszins beklijvende kennis voor ons zelf  van de wereld oplevert. Ik heb het nu niet over studiereizen of zakenreizen maar gewone vakantiereizen zoals onze georganiseerde trip naar Armenië en Georgië in 2016. De meeste herinneringen betreffen de gezelligheid in de groep, het koude glas bier of het goede glas rode wijn 's avonds, de wisselende staat van comfort in de hotelkamers, de groeiende beleefde verveling bij het over-the-top kerkbezoek en het adembenemende landschap.
Hebben we nog meer meegekregen dan een blik op de buitenkant. Weten we nu iets meer van de ziel van Armenië en Georgië, deze vanuit onze optiek soms wat treurige landjes, die kranig hun identiteit bevechten te midden van onbetrouwbare, machtige buurlanden als Rusland en Turkije en ook Azerbeidzjan.

Wat is er blijven hangen na enkele maanden?  Bijvoorbeeld van de landstalen: het Armeens en Georgisch?

Vooraf heb ik in een reisgids de aanbeveling gelezen om Armeens en Georgisch niet te gaan bestuderen. Te ingewikkeld. Dit advies heb ik ter harte genomen. Ook na de reis weet ik helemaal niets van deze Kaukasische brabbeltaaltjes, zelfs niet "dank je wel" of de eerste drie telwoorden. We spraken uiteraard  Nederlands met elkaar en de Armeense en Georgische reisleidsters spraken uitstekend Engels. Met de modale Armeniër en Georgiër viel bijna  niet te communiceren. Er is niettemin toch wel iets als een  taalsentiment blijven hangen. Dat prettige geruis als we in de openbare ruimte Armeniërs of Georgiërs met elkaar hoorden converseren. Een herinnering aan een niet onaangenaam achtergrond geluid  zonder herkenbare betekenis maar gearticuleerder, ritmischer en minder opdringerig dan verkeerslawaai. Armeens klonk enigszins zangerig.

Talen zijn belangrijk voor de identiteit van een volk. Kijk maar eens naar het Fries, Vlaams, of het Frans in Quebec, Dit geldt a forteriori voor Georgië en Armenië. Alle burgers in beide landen leren Russisch op school. Russisch fungeert als een soort Engels, een lingua franca, een overlevingsvoorwaarde.  Maar ze koesteren het Armeens respectievelijk Georgisch als hun eerste taal. Het onderscheidt hun van de omringende culturen. Er mag bijvoorbeeld bij wet uitsluitend Georgisch gesproken worden op de Georgische ministeries en gemeentehuizen. Onze reisleidsters glommen van trots als hun taal ter sprake kwam.
Ik noem hier Armeens en Georgisch in een adem maar deze talen zijn totaal verschillend. Georgisch behoort tot de Kartvelische of Zuid-Kaukasische taalfamilie en Armeens tot het Indo-Europees. Georgiërs en Armeniërs verstaan elkaar niet, zelfs niet bij benadering. Ze kunnen elkaars geschreven taal ook niet uitspreken want hun respectievelijke schrift is sterk afwijkend. Het Georgische en nog meer het Armeense schrift doen mij denken aan geheimtaal. Het lijkt net alsof aan de toch al onbegrijpelijke uitspraak van deze taaltjes als extraatje verborgen boodschappen in een nog geheimzinniger schrift worden verpakt. Overigens, in het straatbeeld kwamen drie schriften voor: het Cyrillisch (Russisch), het Armeens of Georgisch en ons schrift.

Als dank voor de spreekwoordelijke Armeense en Georgische gastvrijheid heb ik voor Nederlanders een korte taalcursus samengesteld.  Als U in de lanen en pleinen van Vught, Utrecht, Nijmegen, Oud-Beijerland of Diemen een noodkreet opvangt van een bezoekende Armeniër of Georgiër of uitgeschreeuwd of kenbaar gemaakt met een spandoek zult U na het volgen van deze les de boodschap herkennen en onmiddellijk te hulp schieten.

Mijn advies is te vragen: "Wilt U een kopje thee?".  Dat verstaan ze heus wel.

Zie hier de cursus: Armeense en Georgische Noodkreten in Schrift en Spraak.

Armenie en Georgie

Georgische uitspraak

Spellingsalfabet in Nieuw Opperlands

Enige maanden geleden heb ik in het kleinste theater van Amsterdam, het torpedotheater, een onderhoudende bijeenkomst bijgewoond waar niet-zo-bekende schrijvers hun bewonderenswaardige producten met het publiek deelden. Een van deze scribenten - Pieter Klop - presenteerde een lezing met lichtbeelden over een eigen versie van het spellingsalfabet "in het verlengde van Hoogeveen's verbeterd leesplankje en het Opperlandse Spellingsalfabet". Dit als variatie op het traditionele spellingsalfabet.

De A van Anna werd bijvoorbeeld A van 't Garde
De E van Eduard werd  de E van Gelie.

Ik heb na enige tijd via mijn geheugen zijn alfabet proberen te reconstrueren.
Het schema is dus
letter + van + lettercombinatie = bestaand woord of naam
 Ik herinnerde mij alleen Pieters A en  E, en ook dat Slot niet op alle letters bovenstaand schema kom toepassen. Hij moest in die gevallen zijn toevlucht nemen tot kwinkslagen. Ik ben zelf aan de slag gegaan en heb mij de vrijheid gepermitteerd in plaats van  het verplichte voorzetsel van ook lettercombinaties als der, des, d', 's toe te laten. Die hebben immers van als betekenis. Hetzelfde geldt voor platte uitspraaksels van van : fan, fen, ffen, Ik heb ook bij vreemde talen geleend: Het spaanse del en het franse du. Du zou leiden tot een verkorte versie van de E uit het traditionele spellingsalfabet:E du Ard en del tot N del darm. Maar de E en de N waren al bezet in onderstaande lijst. Het gebruik van het Engelse of  is sinds kort uitgesloten, aangezien ik mij wil beperken tot Europese talen.
Op deze manier ben ik er in geslaagd alle letters van het spellingsalfabet in het Opperlands te vertalen. Ik ben niet helemaal tevreden. Bijvoorbeeld bij de M smokkel ik een beetje, ook de Z is niet zo overtuigend.
Heeft U verbeteringen of aanvullingen, laat mij dit dan weten.

Hier is mijn versie van het Opperlandse spellingsalfabet. Bescheidenheid gebiedt mij nogmaals te verklaren dat het onderliggende idee van Pieter Klop (PK) en zijn voorgangers is.

A	A van tgarde (PK)
B	B van gen
C	C der boom
D	D ‘s alniettemin
E	E van gelie (PK)
F	F fen iets doen
G	G van genis
H	H van A
I	I van Wolffers
J	Je van het
K	Ka der lid
L	L fen dertigst
M	M der Compascuum
N	N fan tterrible
O	O ffen sie
P	P der ast
Q	Q del staart
R	R van genieten
S	S d’ oorn
T	Te der heid
U	U d´enhout
V	V der licht
W	W der opstanding
X	X ‘s ta paf
Y	Y van de Verschrikkelijke
Z	Z ‘s el

Interview DiemerNieuws 11 Februari 2016

Een mooi bewijs

Frank Kok
Statisticus in ruste.

1. Inleiding

Zowel in het huwelijk als in de wiskunde kan men een verhouding voorstellen als een breuk, zei de schrijver Alexander Pola.
Hij heeft niet helemaal gelijk.
Een (buitenechtelijke) verhouding leidt niet altijd tot een breuk, een wiskundige verhouding is niet altijd als breuk te schrijven.

Een beroemd voorbeeld van het laatste is de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel: het beroemde getal .  is niet als breuk te schrijven. Het bewijs hiervoor is niet makkelijk.
Een ander voorbeeld is de verhouding tussen de schuine zijde en de rechthoekszijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek: het getal   dat na kwadrateren 2 oplevert.

Ik herinnerde mij dat ik voor een tentamen ooit het bewijs heb moeten kennen dat het getal  ook niet als breuk te schrijven is en dat dit bewijs tamelijk simpel is. Aangezien ik te pre-dement en te lui ben om de argumentatie na al die jaren zelf te reproduceren, ben ik gaan googelen.  Ik trof verschillende redeneringen aan om de bedoelde bewering te staven. Eén van die bewijzen had ik nog nooit gezien. En juist die is van een verbluffende eenvoud en schittering.

Als een boek mij ontroert wil ik er met mijn echtgenote over kunnen praten. Een film die mij raakt moeten mijn vrienden en vriendinnen ook zien. In een museum wil ik sámen genieten. Gedeelde schoonheid is dubbele schoonheid. 

Ik begrijp dat niet iedereen ’s nachts wakker ligt van de vraag of   al dan niet als breuk te schrijven is. Velen zal het een worst wezen, excusez le mot.

Maar de beroemde filosoof/wiskundige Bertrand Russell stelt dat

wiskunde gekenmerkt wordt door opperste schoonheid – een schoonheid koud en streng, als dat van een beeldhouwwerk.

Het bewijs dat ik ben tegengekomen is een klein beeldhouwwerkje op de schoorsteenmantel, Als je er rustig naar kijkt voel je iets van de kilte en de strengheid: de wiskundige schoonheid van Russel. Ik hoop die ervaring te kunnen delen juist met die voortreffelijke vrienden en bekenden die een rijk en gelukkig leven leiden zonder zich te hebben hoeven bekwamen in het idioom van de wiskunde.

Het gaat mij hier niet om maatschappelijk nut maar om l’art pour l’art.

Als introductie eerst even uitleg over twee elementaire principes die u zich waarschijnlijk nog van de middelbare school herinnert.

2. Irrationale en rationale getallen.

Een getal dat als breuk geschreven kan worden heet een rationaal getal.

Een breuk is zoals we weten van de vorm  .

Een breuk kan ook als decimaal getal geschreven worden

Soms kan een breuk niet exact geschreven worden in de decimale representatie, maar wel benaderd.

=0,17647058823409411764705882340941…..

De gelijkheid gaat alleen op als in de decimale schrijfwijze  het getal 3 respectievelijk de reeks getallen 1764705882340941 oneindig vaak herhaald wordt. Hier hebben we niet genoeg inkt voor in het heelal.

Omgekeerd is een decimaal getal met óf een eindig aantal decimalen  óf een oneindig aantal decimalen maar met oneindige herhalingen altijd als breuk te schrijven. 

Een getal dat niet als breuk geschreven kan worden heet een irrationaal getal.

= 3,141 592 653 ……  is dus een voorbeeld van een dergelijk getal.

 heeft volgens het voorafgaande redenering geen eindig aantal decimalen noch treden in de oneindige reeks decimalen groepen cijfers op die zich steeds herhalen. Een irrationaal getal kan in de praktijk nooit exact worden weergegeven, noch als breuk noch in de decimale presentatie, simpelweg omdat we niet bij machte zijn een oneindig aantal decimalen weer te geven.

3. Hoofdstelling van de rekenkunde.

Het bewijs maakt gebruik van de hoofdstelling van de rekenkunde, ook al een zeer simpel principe. Het theorema beweert dat alle gehele getallen te schrijven zijn als het product van priemfactoren.  Priemfactoren  zijn gehele getallen die niet verder op te splitsen zijn als product van andere getallen.

Op volgorde na is deze ontbinding in priemfactoren uniek: het kan maar op één manier.

Bv:

60 = 2 x 2 x 3 x 5

3009676=2 x 2 x 19 x 199 x 199

Uniciteit betekent hier dat er geen combinaties van andere priemgetallen bestaan met als product 60 of 3009676.

Dit is nu niet bepaald een schokkende bewering. Mensen met een beetje gevoel voor getallen vinden dit wellicht vanzelfsprekend.¹ 

Voor ons is van belang  dat een kwadraat van een getal altijd ontbonden wordt in een even aantal priemfactoren:

60² = 60 x 60 = 2x2x3x5 x 2x2x3x5

3009679² = 3009679 x 3009679 = 2 x 2 x 19 x 199 x 199  x 2 x 2 x 19 x 199 x 199

 Conclusie 1:
Algemeen: een getal n heeft p priemfactoren.  p is even of oneven. Dan heeft n², dus n x n altijd een even aantal priemfactoren namelijk 2p.  Dit geldt voor elk getal n > 1 ;

We bekijken het getal 2n² :

 Bijvoorbeeld: n = 60
 2 x   60² = 2 x (2x2x3x5 x 2x2x3x5); 

Vermenigvuldiging van n² met 2 voegt een priemfactor toe aan het even aantal priemfactoren van n²  Het resultaat is een ontbinding in een oneven aantal priemfactoren. Dit geldt voor elk getal n > 1.

Conclusie 2:

Het getal 2n² wordt ontbonden in een oneven aantal priemfactoren

4. Bewijs

Om de bewering dat  een irrationaal getal is te staven maken we gebruik van “een bewijs uit het ongerijmde” , We stellen dat  een rationaal getal is, en gaan dan logisch doorredeneren tot we uitkomen op een uitspraak die onmogelijk is. Dat betekent dan dat onze aanname ( is een rationaal getal) onjuist is. Het kan dan alleen maar een irrationeel getal zijn.

Dus stel dat  geschreven kan worden als breuk:

 met p en q gehele getallen



Kwadrateren levert op

  dus volgens elementaire schoolwiskunde

.

2q² wordt ontbonden in een oneven aantal priemfactoren (zie conclusie 2 in sectie 3).
p² wordt ontbonden in een even aantal priemfactoren (zie conclusie 1 in sectie 3)
p² en 2q² worden dus ontbonden in een verschillende reeks priemfactoren en zijn dus verschillende getallen volgens de hoofdstelling van de rekenkunde. We stuiten dus op een logische tegenstrijdigheid.

Dus onze aanname dat  geschreven kan worden als   is incorrect.   kan niet als breuk geschreven worden en is dus irrationaal.

Quod Est Demonstrandum

5. Naschrift

Heeft U de tranen in uw ogen al gedroogd?

Als ik het voorafgaande nog eens doorlees dan hou ik er rekening mee dat mijn opzet U te laten delen in de glans van dit bewijs niet geslaagd is.

Getaltheoretici - als ze al tot mijn kennissenkring zouden behoren - vinden dit waarschijnlijk beginnersgepruts. Zij bestuderen kolossale problemen als het vermoeden van Goldbach of Riemans zeta-functie.

De gewaardeerde leken onder mijn vrienden en bekenden zullen misschien mij beleefd geluk wensen met dit leuke probeersel, maar niet meer dan dat.

Een vriendin werkzaam in de zorgsector die mij eens aanraadde met een psychiater te gaan praten toen ik haar vertelde over mijn fascinatie voor een zuiver wiskundig probleem zal na esoterische kwalificaties als “koude en strenge schoonheid” en “schittering” zich waarschijnlijk alleen maar gesterkt voelen in haar advies.

Daar zit ik dan in alle eenzaamheid achter mijn bureau met mijn stille vervoering .

Maar mijn stream of consciousness voert mij naar de siertuinen van de taal met zijn geheel eigen logica. Miljoenen bewonderaars koesteren zich in de bekoring van dit landschap.

Daarom doe ik nog een poging:

De onverbiddelijke intolerantie van het gehele getal dat maar één ontbinding in priemfactoren toestaat veroordeelt  tot een genadeloze vlucht van decimalen naar de eindeloosheid zonder de sereniteit van de eeuwige herhaling. Haar tragisch lot is dat nooit iemand precies haar getalsmatige hoedanigheid zal kunnen waarderen. 

Als U nu nog niet verstilt in bewondering, hoop ik in ieder geval dat U tenminste meeleeft met die arme  .

___________________________

¹ Wiskundigen houden niet van vanzelfsprekendheid. Ze willen uitspraken bewijzen. Misschien vanwege een pathologische hang naar zekerheid, misschien vanwege een terecht wantrouwen in het intuïtieve oordeelsvermogen van de medemens, of gewoon omdat ze het leuk vinden.

Dat de ontbinding van een geheel getal  in priemgetallen uniek is, is niet heel moeilijk te bewijzen. Een mogelijkheid is gebruik te maken van het lemma van Euclides. Deze klassieke Griek verleent het bewijs een zekere eerbiedwaardigheid.