Een mooi bewijs

Frank Kok
Statisticus in ruste.

1. Inleiding

Zowel in het huwelijk als in de wiskunde kan men een verhouding voorstellen als een breuk, zei de schrijver Alexander Pola.
Hij heeft niet helemaal gelijk.
Een (buitenechtelijke) verhouding leidt niet altijd tot een breuk, een wiskundige verhouding is niet altijd als breuk te schrijven.

Een beroemd voorbeeld van het laatste is de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel: het beroemde getal .  is niet als breuk te schrijven. Het bewijs hiervoor is niet makkelijk.
Een ander voorbeeld is de verhouding tussen de schuine zijde en de rechthoekszijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek: het getal   dat na kwadrateren 2 oplevert.

Ik herinnerde mij dat ik voor een tentamen ooit het bewijs heb moeten kennen dat het getal  ook niet als breuk te schrijven is en dat dit bewijs tamelijk simpel is. Aangezien ik te pre-dement en te lui ben om de argumentatie na al die jaren zelf te reproduceren, ben ik gaan googelen.  Ik trof verschillende redeneringen aan om de bedoelde bewering te staven. Eén van die bewijzen had ik nog nooit gezien. En juist die is van een verbluffende eenvoud en schittering.

Als een boek mij ontroert wil ik er met mijn echtgenote over kunnen praten. Een film die mij raakt moeten mijn vrienden en vriendinnen ook zien. In een museum wil ik sámen genieten. Gedeelde schoonheid is dubbele schoonheid. 

Ik begrijp dat niet iedereen ’s nachts wakker ligt van de vraag of   al dan niet als breuk te schrijven is. Velen zal het een worst wezen, excusez le mot.

Maar de beroemde filosoof/wiskundige Bertrand Russell stelt dat

wiskunde gekenmerkt wordt door opperste schoonheid – een schoonheid koud en streng, als dat van een beeldhouwwerk.

Het bewijs dat ik ben tegengekomen is een klein beeldhouwwerkje op de schoorsteenmantel, Als je er rustig naar kijkt voel je iets van de kilte en de strengheid: de wiskundige schoonheid van Russel. Ik hoop die ervaring te kunnen delen juist met die voortreffelijke vrienden en bekenden die een rijk en gelukkig leven leiden zonder zich te hebben hoeven bekwamen in het idioom van de wiskunde.

Het gaat mij hier niet om maatschappelijk nut maar om l’art pour l’art.

Als introductie eerst even uitleg over twee elementaire principes die u zich waarschijnlijk nog van de middelbare school herinnert.

2. Irrationale en rationale getallen.

Een getal dat als breuk geschreven kan worden heet een rationaal getal.

Een breuk is zoals we weten van de vorm  .

Een breuk kan ook als decimaal getal geschreven worden

Soms kan een breuk niet exact geschreven worden in de decimale representatie, maar wel benaderd.

=0,17647058823409411764705882340941…..

De gelijkheid gaat alleen op als in de decimale schrijfwijze  het getal 3 respectievelijk de reeks getallen 1764705882340941 oneindig vaak herhaald wordt. Hier hebben we niet genoeg inkt voor in het heelal.

Omgekeerd is een decimaal getal met óf een eindig aantal decimalen  óf een oneindig aantal decimalen maar met oneindige herhalingen altijd als breuk te schrijven. 

Een getal dat niet als breuk geschreven kan worden heet een irrationaal getal.

= 3,141 592 653 ……  is dus een voorbeeld van een dergelijk getal.

 heeft volgens het voorafgaande redenering geen eindig aantal decimalen noch treden in de oneindige reeks decimalen groepen cijfers op die zich steeds herhalen. Een irrationaal getal kan in de praktijk nooit exact worden weergegeven, noch als breuk noch in de decimale presentatie, simpelweg omdat we niet bij machte zijn een oneindig aantal decimalen weer te geven.

3. Hoofdstelling van de rekenkunde.

Het bewijs maakt gebruik van de hoofdstelling van de rekenkunde, ook al een zeer simpel principe. Het theorema beweert dat alle gehele getallen te schrijven zijn als het product van priemfactoren.  Priemfactoren  zijn gehele getallen die niet verder op te splitsen zijn als product van andere getallen.

Op volgorde na is deze ontbinding in priemfactoren uniek: het kan maar op één manier.

Bv:

60 = 2 x 2 x 3 x 5

3009676=2 x 2 x 19 x 199 x 199

Uniciteit betekent hier dat er geen combinaties van andere priemgetallen bestaan met als product 60 of 3009676.

Dit is nu niet bepaald een schokkende bewering. Mensen met een beetje gevoel voor getallen vinden dit wellicht vanzelfsprekend.¹ 

Voor ons is van belang  dat een kwadraat van een getal altijd ontbonden wordt in een even aantal priemfactoren:

60² = 60 x 60 = 2x2x3x5 x 2x2x3x5

3009679² = 3009679 x 3009679 = 2 x 2 x 19 x 199 x 199  x 2 x 2 x 19 x 199 x 199

 Conclusie 1:
Algemeen: een getal n heeft p priemfactoren.  p is even of oneven. Dan heeft n², dus n x n altijd een even aantal priemfactoren namelijk 2p.  Dit geldt voor elk getal n > 1 ;

We bekijken het getal 2n² :

 Bijvoorbeeld: n = 60
 2 x   60² = 2 x (2x2x3x5 x 2x2x3x5); 

Vermenigvuldiging van n² met 2 voegt een priemfactor toe aan het even aantal priemfactoren van n²  Het resultaat is een ontbinding in een oneven aantal priemfactoren. Dit geldt voor elk getal n > 1.

Conclusie 2:

Het getal 2n² wordt ontbonden in een oneven aantal priemfactoren

4. Bewijs

Om de bewering dat  een irrationaal getal is te staven maken we gebruik van “een bewijs uit het ongerijmde” , We stellen dat  een rationaal getal is, en gaan dan logisch doorredeneren tot we uitkomen op een uitspraak die onmogelijk is. Dat betekent dan dat onze aanname ( is een rationaal getal) onjuist is. Het kan dan alleen maar een irrationeel getal zijn.

Dus stel dat  geschreven kan worden als breuk:

 met p en q gehele getallen



Kwadrateren levert op

  dus volgens elementaire schoolwiskunde

.

2q² wordt ontbonden in een oneven aantal priemfactoren (zie conclusie 2 in sectie 3).
p² wordt ontbonden in een even aantal priemfactoren (zie conclusie 1 in sectie 3)
p² en 2q² worden dus ontbonden in een verschillende reeks priemfactoren en zijn dus verschillende getallen volgens de hoofdstelling van de rekenkunde. We stuiten dus op een logische tegenstrijdigheid.

Dus onze aanname dat  geschreven kan worden als   is incorrect.   kan niet als breuk geschreven worden en is dus irrationaal.

Quod Est Demonstrandum

5. Naschrift

Heeft U de tranen in uw ogen al gedroogd?

Als ik het voorafgaande nog eens doorlees dan hou ik er rekening mee dat mijn opzet U te laten delen in de glans van dit bewijs niet geslaagd is.

Getaltheoretici - als ze al tot mijn kennissenkring zouden behoren - vinden dit waarschijnlijk beginnersgepruts. Zij bestuderen kolossale problemen als het vermoeden van Goldbach of Riemans zeta-functie.

De gewaardeerde leken onder mijn vrienden en bekenden zullen misschien mij beleefd geluk wensen met dit leuke probeersel, maar niet meer dan dat.

Een vriendin werkzaam in de zorgsector die mij eens aanraadde met een psychiater te gaan praten toen ik haar vertelde over mijn fascinatie voor een zuiver wiskundig probleem zal na esoterische kwalificaties als “koude en strenge schoonheid” en “schittering” zich waarschijnlijk alleen maar gesterkt voelen in haar advies.

Daar zit ik dan in alle eenzaamheid achter mijn bureau met mijn stille vervoering .

Maar mijn stream of consciousness voert mij naar de siertuinen van de taal met zijn geheel eigen logica. Miljoenen bewonderaars koesteren zich in de bekoring van dit landschap.

Daarom doe ik nog een poging:

De onverbiddelijke intolerantie van het gehele getal dat maar één ontbinding in priemfactoren toestaat veroordeelt  tot een genadeloze vlucht van decimalen naar de eindeloosheid zonder de sereniteit van de eeuwige herhaling. Haar tragisch lot is dat nooit iemand precies haar getalsmatige hoedanigheid zal kunnen waarderen. 

Als U nu nog niet verstilt in bewondering, hoop ik in ieder geval dat U tenminste meeleeft met die arme  .

___________________________

¹ Wiskundigen houden niet van vanzelfsprekendheid. Ze willen uitspraken bewijzen. Misschien vanwege een pathologische hang naar zekerheid, misschien vanwege een terecht wantrouwen in het intuïtieve oordeelsvermogen van de medemens, of gewoon omdat ze het leuk vinden.

Dat de ontbinding van een geheel getal  in priemgetallen uniek is, is niet heel moeilijk te bewijzen. Een mogelijkheid is gebruik te maken van het lemma van Euclides. Deze klassieke Griek verleent het bewijs een zekere eerbiedwaardigheid.