Vreemd optellen

I.      GRAPJE

Ik kwam ergens de volgende rekenkundige formulering tegen:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12.

Met drie puntjes bedoelen wij hier en in wat volgt dat de reeks wordt voortgezet tot oneindig.

Iedere nette burger ziet onmiddellijk dat als je steeds grotere positieve getallen bij elkaar op telt, nooit een negatieve breuk kleiner dan 0 als uitkomst opduiken.

Maar, omdat nepnieuws op de sociale media ongewenste gevolgen heeft en hele volksstammen op het verkeerde been zet, voelde ik mij verplicht de verspreiders van deze onzinnige boodschap te ontmaskeren.

In wat volgt worden elementaire wiskundige basisvaardigheden aanwezig verondersteld:

·       omgang met haakjes

·       vermenigvuldiging van termen tussen haakjes met (eventueel) negatieve getallen

·       aftrekken of optellen van grootheden links en rechts van het is-gelijkteken.

·       omgaan met negatieve machten in de noemer van breuken.

De leugenachtige redenering maakt gebruik van twee even absurde optelresultaten.

Stelling 1

1–1+1–1+1–1 + ⋯  = ½

Bewijs:

Noem de uitkomst van de reeks A

1–1+1–1+1–1 + ⋯ = A

Dan is

1 –A  = 1 – (1–1+1–1+1–1 + ⋯)

1 – A = 1 – 1 + 1 -1 + 1 – 1 + …

1 – A =  0 + 1 -1 + 1 – 1 + ….

1 – A = A

2A = 1

A = 1/2

dus 1–1+1–1+1–1 ⋯ = 1/2

Stelling 2

1–2+3–4+5–6 + ⋯ = 1/4

Bewijs:

Noem de uitkomst van bovenstaande reeks B en maak gebruik van Stelling 1

A-B = (1–1+1–1+1–1⋯) - (1–2+3–4+5–6⋯)

A-B = 1–1+1–1+1–1⋯  - 1+2–3+4–5+6⋯

We verplaatsen termen en zetten voor de duidelijkheid wat haakjes neer.

A-B = (1–1) + (–1+2) +(1–3) + (–1+4) + (1–5) + (–1+6)⋯

A-B = 0+1–2+3–4+5⋯

A-B = B

A = 2B

Boven hebben we afgeleid: A = ½.

1/2 = 2B

1/4 = B

Dus 1–2+3–4+5–6⋯ = 1/4.

Stelling 3 (kers op de taart)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12.

Bewijs:

Noem de som van bovenstaande reeks C en maak gebruik van Stelling 2

B-C = (1–2+3–4+5–6⋯)-(1+2+3+4+5+6 +⋯)

B-C = 1-2+3-4+5-6 + ⋯ -1-2-3-4-5-6 ⋯

We verplaatsen wat termen en zetten voor de duidelijkheid wat haakjes.

B-C = (1-1) + (-2-2) + (3-3) + (-4-4) + (5-5) + (-6-6) ⋯

B-C = 0-4+0-8+0-12⋯

B-C = -4-8-12⋯

B-C = -4 (1+2+3 ⋯ )

B-C = -4C

B = -3C

Boven hebben we afgeleid B = ¼, dus

1/4 = -3C

C = -1/12 

dus 

1+2+3+4+5+6 +⋯ = -1/12

Quod Est Demonstrandum.

II. ONZIN

Zoals gezegd mensen met enig gezond verstand voelen aan dat deze redenering niet klopt. Het lijkt op een Zoek de Fout Puzzel.

Echter, bij nadere beschouwing is het niet meteen duidelijk wat nou precies hapert. Als je de stappen van de bewijsvoering stap voor stap nagaat lijkt tegen de logica weinig in te brengen.

De verklaring ligt in het verschil tussen reeksen die als je steeds meer termen optelt steeds dichter bij een bepaalde waarde komen te liggen en reeksen waar dit niet het geval is.

Convergente reeksen

Beschouw de reeks

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ….

De opbouw van de som verloopt als volgt:
1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, ...
Je ziet dat deze som steeds dichter bij 1 komt te liggen als je meer termen toevoegt, anders gezegd, deze reeks convergeert naar 1.

Divergente reeksen

Bij reeks A uit stelling 1 wappert als je blijft optellen de som steeds tussen 0 en 1.

Bij reeks B uit stelling 2 wordt de som afwisselend positief en negatief steeds groter.

Reeks C uit stelling 3 gaat naar oneindig, zoals we in het begin al vermoedden. Oneindig is geen getal in de wiskunde.

Dergelijke reeksen worden divergent genoemd. Ze benaderen geen vast getal.

Divergente reeksen zijn vreemd. Ze verdwijnen achter de horizon of blijven zich instabiel gedragen.

Bij divergente reeksen zijn bewerkingen als twee reeksen van elkaar aftrekken, en termen verplaatsen, willekeurig haakjes zetten niet toegestaan. Zie appendix.

Wij hebben gedaan of onze neus bloedt met als gevolg, afgemeten tegen elk redelijk criterium, een onzinnig antwoord.
Er bestaat een interessante youtube video over dit onderwerp. De presentator zegt over bovenstaande bewijsvoering:

This is not mathematics. Don't use it. Otherwise, you'll burn in mathematical hell!

III EIGENLIJK TOCH NIET HELEMAAL ONZIN
Divergente series,  waar niets mee te beginnen valt,  sommen die heen en weer wapperen of aan de horizon verdwijnen, botsen met esthetische principes en we willen het wiskundebrood liefst zonder schimmelige korstjes verorberen.

Er zijn daarom verschillende afwijkende definities voor sommeren van divergente reeksen voorgesteld.

De in stelling 1 beschreven sommatie heeft zelfs een officiële naam Cesaro sommatie van de Grandi reeks.

Andere sommatie technieken komen op naam van Abel, Borel, Euler, Hölder, en Lambert.

De stelling 3 sommatie is voorgesteld door de Indiase wiskundige Ramanujan.

Ramanujan

Soms leveren verschillende van deze sommatiemethoden toegepast op dezelfde reeks andere uitkomsten op.  Welke methode je kiest is dan afhankelijk van de context waarin je die gebruikt.

Zo blijkt  de sommatie methode van Ramanujan betekenis te hebben in meer exotische takken van wetenschap als kwantummechanica en bosonische string theorie, die, naar ik heb begrepen, toch al over zaken gaan waar we ons absoluut geen voorstelling van kunnen maken. Soort zoekt soort.

IV PRIEMGETALLEN

De rare uitkomst van de Ramanujan sommatie, -1/12, duikt ook op in geavanceerd onderzoek naar priemgetallen.

In dit onderzoek speelt de z-functie (spreek uit zèta) een belangrijke rol. Deze functie is een van de kroonjuwelen van de wiskunde, omdat er een fameus, nooit bewezen vermoeden mee geassocieerd is. Als jij het bewijs voor deze conjectuur levert, ontvang je een miljoen dollar en word je wereldberoemd. Een groot deel van de getaltheorie staat of valt met het bewijs van de betreffende hypothese. De harde schijven van de wiskundebibliotheken staan bijna op barsten van de literatuur over deze functie.

In dit betoog gebruiken we een eenvoudige versie van deze functie om een verrassende resultaat mee te illustreren. 

Deze functie blijkt te convergeren (hun oneindige som benadert een gewoon getal) voor bepaalde waarden van x, namelijk voor

x > 1. Voor x < 1 is het resultaat divergent.

Illustratie x > 1: x = 2

De uitkomst is niet direct te begrijpen. Het gaat er om dat de z-functie convergeert naar een vast getal voor x > 1

Illustratie x £ 1 : x = -1

.

formule 1

ζ(-1) verschijnt als de som waar dit artikel over gaat. Inderdaad, die reeks divergeert zoals we gezien hebben; zij snelt naar oneindig als we onze huis-tuin-en-keukenmanier van optellen toepassen.

Divergentie stuit ook  z-wiskundigen tegen de borst. Als oplossing nemen ze echter niet lafhartig hun toevlucht tot dubieuze, buitenechtelijke sommatiemethoden zoals we eerder hebben gezien maar gaan anders te werk.

Ze proberen de definitie van de ζ-functie van het gebied waar het wel gedefinieerd is ( x > 1) uit te breiden naar het gebied waar de oorspronkelijk functie divergeert (dus voor x £ 1) zodanig dat de functie ook daar een normale waarde heeft en dat allerlei prettige eigenschappen die de oorspronkelijke functie kenmerken in het convergentiegebied ook behouden blijven in het divergentiegebied.

Deze werkwijze heet analytische uitbreiding. (Een verrassende wending is dat onder bepaalde voorwaarden de analytische uitbreiding maar op één manier tot stand kan worden gebracht, maar dit terzijde).

Bij de z-functie ziet de  procedure  er als volgt uit.

 

  

Het idee is om de ongedefinieerde waarde van de functie in het divergentiegebied te definiëren met behulp van een bestaande waarde in het convergentiegebied.

Bijvoorbeeld: neem x = 1.

Dan is

Formule 2

De oorspronkelijk ongedefinieerde waarde  krijgt nu de interpretatie van een gewoon getal omdat ζ(2) =π²/6  zoals we boven al hebben gezien. Bovendien herinneren we ons van school, als we diep in ons geheugen graven, dat sin(π/2) = 1

Combineren we (Formule 1) en (formule 2) dan levert dat met wat middelbare school rekenwerk:

Hieronder staat een deel van de grafiek van de ζ-functie. Het linker deel is een uitvergroting van het  rechterdeel voor x < 0. Met een beetje goede wil kan je in het linkerdeel  zien dat voor x = -1, ζ(x) een waarde aanneemt die overeenkomt met -1/12.

V CONCLUSIE

Wat ik zelf eerlijk gezegd niet overzie is hoe het resultaat van een soort boerenbedrog  (met de rammelende toepassing van de Cesaro en Ramanujan sommatie) onverwacht weer opduikt als een hoogst respectabel resultaat na toepassing van zeer serieuze wiskunde, zoals analytische uitbreidingen van de z-functie.

En het is eigen aan de menselijke natuur om in onbegrepen, verrassende bevindingen de hand van een hogere magie te zien. Zie hier, de onverbiddelijke  schoonheid van de wiskunde.

In werkelijkheid heeft het te maken met  dat wij zo gewend zijn aan onze manier van optellen dat andere benaderingen geheel buiten ons voorstellingsvermogen vallen.

Appendix:

Zomaar haakjes plaatsen is niet toegestaan bij divergente reeksen.

Neem  reeks A uit stelling 1 waar we op twee manieren haakjes zetten

(1–1)+(1–1)+(1–1) + ⋯  = 1 + (– 1 + 1) + (-1 + 1) + …

Dus

0 + 0 + 0 + … = 1 + 0 + 0 + 0 + …

oftewel

0 = 1: Een idiote uitkomst.