Een mooi bewijs

Frank Kok
Statisticus in ruste.

1. Inleiding

Zowel in het huwelijk als in de wiskunde kan men een verhouding voorstellen als een breuk, zei de schrijver Alexander Pola.
Hij heeft niet helemaal gelijk.
Een (buitenechtelijke) verhouding leidt niet altijd tot een breuk, een wiskundige verhouding is niet altijd als breuk te schrijven.

Een beroemd voorbeeld van het laatste is de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel: het beroemde getal .  is niet als breuk te schrijven. Het bewijs hiervoor is niet makkelijk.
Een ander voorbeeld is de verhouding tussen de schuine zijde en de rechthoekszijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek: het getal   dat na kwadrateren 2 oplevert.

Ik herinnerde mij dat ik voor een tentamen ooit het bewijs heb moeten kennen dat het getal  ook niet als breuk te schrijven is en dat dit bewijs tamelijk simpel is. Aangezien ik te pre-dement en te lui ben om de argumentatie na al die jaren zelf te reproduceren, ben ik gaan googelen.  Ik trof verschillende redeneringen aan om de bedoelde bewering te staven. Eén van die bewijzen had ik nog nooit gezien. En juist die is van een verbluffende eenvoud en schittering.

Als een boek mij ontroert wil ik er met mijn echtgenote over kunnen praten. Een film die mij raakt moeten mijn vrienden en vriendinnen ook zien. In een museum wil ik sámen genieten. Gedeelde schoonheid is dubbele schoonheid. 

Ik begrijp dat niet iedereen ’s nachts wakker ligt van de vraag of   al dan niet als breuk te schrijven is. Velen zal het een worst wezen, excusez le mot.

Maar de beroemde filosoof/wiskundige Bertrand Russell stelt dat

wiskunde gekenmerkt wordt door opperste schoonheid – een schoonheid koud en streng, als dat van een beeldhouwwerk.

Het bewijs dat ik ben tegengekomen is een klein beeldhouwwerkje op de schoorsteenmantel, Als je er rustig naar kijkt voel je iets van de kilte en de strengheid: de wiskundige schoonheid van Russel. Ik hoop die ervaring te kunnen delen juist met die voortreffelijke vrienden en bekenden die een rijk en gelukkig leven leiden zonder zich te hebben hoeven bekwamen in het idioom van de wiskunde.

Het gaat mij hier niet om maatschappelijk nut maar om l’art pour l’art.

Als introductie eerst even uitleg over twee elementaire principes die u zich waarschijnlijk nog van de middelbare school herinnert.

2. Irrationale en rationale getallen.

Een getal dat als breuk geschreven kan worden heet een rationaal getal.

Een breuk is zoals we weten van de vorm  .

Een breuk kan ook als decimaal getal geschreven worden

Soms kan een breuk niet exact geschreven worden in de decimale representatie, maar wel benaderd.

=0,17647058823409411764705882340941…..

De gelijkheid gaat alleen op als in de decimale schrijfwijze  het getal 3 respectievelijk de reeks getallen 1764705882340941 oneindig vaak herhaald wordt. Hier hebben we niet genoeg inkt voor in het heelal.

Omgekeerd is een decimaal getal met óf een eindig aantal decimalen  óf een oneindig aantal decimalen maar met oneindige herhalingen altijd als breuk te schrijven. 

Een getal dat niet als breuk geschreven kan worden heet een irrationaal getal.

= 3,141 592 653 ……  is dus een voorbeeld van een dergelijk getal.

 heeft volgens het voorafgaande redenering geen eindig aantal decimalen noch treden in de oneindige reeks decimalen groepen cijfers op die zich steeds herhalen. Een irrationaal getal kan in de praktijk nooit exact worden weergegeven, noch als breuk noch in de decimale presentatie, simpelweg omdat we niet bij machte zijn een oneindig aantal decimalen weer te geven.

3. Hoofdstelling van de rekenkunde.

Het bewijs maakt gebruik van de hoofdstelling van de rekenkunde, ook al een zeer simpel principe. Het theorema beweert dat alle gehele getallen te schrijven zijn als het product van priemfactoren.  Priemfactoren  zijn gehele getallen die niet verder op te splitsen zijn als product van andere getallen.

Op volgorde na is deze ontbinding in priemfactoren uniek: het kan maar op één manier.

Bv:

60 = 2 x 2 x 3 x 5

3009676=2 x 2 x 19 x 199 x 199

Uniciteit betekent hier dat er geen combinaties van andere priemgetallen bestaan met als product 60 of 3009676.

Dit is nu niet bepaald een schokkende bewering. Mensen met een beetje gevoel voor getallen vinden dit wellicht vanzelfsprekend.¹ 

Voor ons is van belang  dat een kwadraat van een getal altijd ontbonden wordt in een even aantal priemfactoren:

60² = 60 x 60 = 2x2x3x5 x 2x2x3x5

3009679² = 3009679 x 3009679 = 2 x 2 x 19 x 199 x 199  x 2 x 2 x 19 x 199 x 199

 Conclusie 1:
Algemeen: een getal n heeft p priemfactoren.  p is even of oneven. Dan heeft n², dus n x n altijd een even aantal priemfactoren namelijk 2p.  Dit geldt voor elk getal n > 1 ;

We bekijken het getal 2n² :

 Bijvoorbeeld: n = 60
 2 x   60² = 2 x (2x2x3x5 x 2x2x3x5); 

Vermenigvuldiging van n² met 2 voegt een priemfactor toe aan het even aantal priemfactoren van n²  Het resultaat is een ontbinding in een oneven aantal priemfactoren. Dit geldt voor elk getal n > 1.

Conclusie 2:

Het getal 2n² wordt ontbonden in een oneven aantal priemfactoren

4. Bewijs

Om de bewering dat  een irrationaal getal is te staven maken we gebruik van “een bewijs uit het ongerijmde” , We stellen dat  een rationaal getal is, en gaan dan logisch doorredeneren tot we uitkomen op een uitspraak die onmogelijk is. Dat betekent dan dat onze aanname ( is een rationaal getal) onjuist is. Het kan dan alleen maar een irrationeel getal zijn.

Dus stel dat  geschreven kan worden als breuk:

 met p en q gehele getallen



Kwadrateren levert op

  dus volgens elementaire schoolwiskunde

.

2q² wordt ontbonden in een oneven aantal priemfactoren (zie conclusie 2 in sectie 3).
p² wordt ontbonden in een even aantal priemfactoren (zie conclusie 1 in sectie 3)
p² en 2q² worden dus ontbonden in een verschillende reeks priemfactoren en zijn dus verschillende getallen volgens de hoofdstelling van de rekenkunde. We stuiten dus op een logische tegenstrijdigheid.

Dus onze aanname dat  geschreven kan worden als   is incorrect.   kan niet als breuk geschreven worden en is dus irrationaal.

Quod Est Demonstrandum

5. Naschrift

Heeft U de tranen in uw ogen al gedroogd?

Als ik het voorafgaande nog eens doorlees dan hou ik er rekening mee dat mijn opzet U te laten delen in de glans van dit bewijs niet geslaagd is.

Getaltheoretici - als ze al tot mijn kennissenkring zouden behoren - vinden dit waarschijnlijk beginnersgepruts. Zij bestuderen kolossale problemen als het vermoeden van Goldbach of Riemans zeta-functie.

De gewaardeerde leken onder mijn vrienden en bekenden zullen misschien mij beleefd geluk wensen met dit leuke probeersel, maar niet meer dan dat.

Een vriendin werkzaam in de zorgsector die mij eens aanraadde met een psychiater te gaan praten toen ik haar vertelde over mijn fascinatie voor een zuiver wiskundig probleem zal na esoterische kwalificaties als “koude en strenge schoonheid” en “schittering” zich waarschijnlijk alleen maar gesterkt voelen in haar advies.

Daar zit ik dan in alle eenzaamheid achter mijn bureau met mijn stille vervoering .

Maar mijn stream of consciousness voert mij naar de siertuinen van de taal met zijn geheel eigen logica. Miljoenen bewonderaars koesteren zich in de bekoring van dit landschap.

Daarom doe ik nog een poging:

De onverbiddelijke intolerantie van het gehele getal dat maar één ontbinding in priemfactoren toestaat veroordeelt  tot een genadeloze vlucht van decimalen naar de eindeloosheid zonder de sereniteit van de eeuwige herhaling. Haar tragisch lot is dat nooit iemand precies haar getalsmatige hoedanigheid zal kunnen waarderen. 

Als U nu nog niet verstilt in bewondering, hoop ik in ieder geval dat U tenminste meeleeft met die arme  .

___________________________

¹ Wiskundigen houden niet van vanzelfsprekendheid. Ze willen uitspraken bewijzen. Misschien vanwege een pathologische hang naar zekerheid, misschien vanwege een terecht wantrouwen in het intuïtieve oordeelsvermogen van de medemens, of gewoon omdat ze het leuk vinden.

Dat de ontbinding van een geheel getal  in priemgetallen uniek is, is niet heel moeilijk te bewijzen. Een mogelijkheid is gebruik te maken van het lemma van Euclides. Deze klassieke Griek verleent het bewijs een zekere eerbiedwaardigheid.

Ontmoeting met Ensaf Haidar

In 2014 is de Saoedi-Arabische blogger Raif Badawi onder meer  tot 10 jaar celstraf, 1000 stokslagen en een enorme geldboete veroordeeld. Hij zat toen al twee jaar gevangen.  Op internet staan foto's van  vriendelijke man met zijn lachende kinderen. De toekomst lacht hem toe. Latere beelden vanuit Canada tonen zijn kroost die hun verdriet betuigen over zijn gevangenschap. Een goede vader en liefhebbende echtgenoot. Raif was blogger die opriep tot een seculier, tolerant Saoedi-Arabie en zich verzette tegen het kwaad van het religieuze extremisme dat het land in zijn greep houdt. Amnesty International voert over de hele wereld actie voor deze gewetensgevangene.  Gecombineerd met de ongehoorde wreedheid van zijn straf verlenen deze kenmerken Badawi een bijzondere status als icoon voor de onderdrukking  van mensenrechten en redelijkheid door de Wahhabistische Islam.
Bij mij staat Raif ook nummer één op de emotionele hitlijst met excuses aan de duizenden andere politieke gevangenen. Immers, ik heb met ontzetting de beelden van de geseling van Badawi aanschouwd, de eerste 50 stokslagen toegediend op 9 januari 2015, in het in het geheim opgenomen schokkerige YouTube filmpje. Wat me vooral aangreep was de eenzaamheid van de aan handen en voeten geboeide kleine man te midden van grote geuniformeerde militairen en de "Allah is groot" krijsende menigte op het Moskeeplein in Jeddah. Deze voorstelling  hield me bijna uit mijn slaap, net zo zeer als de afgrondelijke  minachting voor de omstanders. Enkele maanden geleden heb ik geheel tegen mijn gewoonte in gedemonstreerd voor de Saoedische ambassade in Den Haag.

Bijeenkomst Amnesty
Gezien deze achtergrond laat zich raden hoe verguld ik  was met de uitnodiging van Amnesty om een interview met Ensaf Haidar, de vrouw van Raif, bij te wonen in het Verzetsmuseum in Amsterdam.  Via haar zouden mijn enigszins abstracte emoties vlees en bloed  krijgen. De belangstelling voor deze bijeenkomst was overweldigend.
Op het toneel stond een kunstwerk: een hoge, lege stoel die de leegte symboliseerde in de huiskamers van de dierbaren van alle politieke gevangenen. In het programma was de vertoning van de film over de kinderen van Ensaf en Raif in Canada en een muzikaal intermezzo opgenomen. Het informatieve deel van het programma bestond uit een interview met Ensaf door de journaliste en programmamaakster Hassnae Bouazza. Hassnae spreekt vloeiend Arabisch en Nederlands. Daarna schoven een tolk en een vertegenwoordigster van Amnesty aan en werd  het publiek in de gelegenheid gesteld vragen te stellen.

Ik heb het volgende van de bijeenkomst opgestoken:

Foto uit Volkskrant 27 mei 2015: Julius Schrank 

Ensaf en de kinderen
Ensaf is een kleine, elegante vrouw, 35 jaar oud. Ze was modern gekleed in een nette spijkerbroek en een hes met blote armen met een blonde teint over haar  kapsel.  Haar bril was naar achteren geschoven over het haar. Haar donkere ogen, haar gelaatskleur en gezichtsvorm bevestigden haar Arabische afkomst. 
Ze zat waardig en beheerst naast de interviewster en haar voorkomen had een aspect van kracht en ernst met een zweem van droefheid, wat haar niet verhinderde af en toe te glimlachen.
Ensaf Haidar is voor de arrestatie van Raif uit voorzorg naar Libanon gevlucht, waar ze via de Verenigde Naties een verblijfsvisum voor Canada heeft verworven. Ze leidt omwille van haar drie kinderen, Najwa(11), Tirad(10) en Myriam(7) in Montreal een zo normaal mogelijk leven. De kinderen gaan naar school en spreken vloeiend Frans. Ze missen hun vader heel erg, zoals blijkt uit het YouTube filmpje dat ook tijdens de bijeenkomst werd vertoond. Levendige Canadese schoolkinderen met fantasieën over hoe ze inbreken in de gevangenis om hun vader te bevrijden.
Ensaf zei, desgevraagd, dat het niet belangrijk was hoe het nu met haar ging. Raif staat centraal. Ze verklaarde wel dat ze zonder de internationale steunbetuigingen en uitingen van medeleven het niet zou redden. De eenzame machteloosheid zou haar dan te veel worden.
Twee Nederlandse scholieren hebben Ensaf via Internet een interview afgenomen. Ze konden niet aanwezig zijn tijdens de bijeenkomst vanwege examens. Ensaf zei dat ze de scholieren graag in Nederland in levende lijve had willen ontmoeten en wenste hen succes met de examens.


Raif
Badawi is op 17 juni 2012 gearresteerd en op 7 mei 2014 veroordeeld. Raif zit, als enige gewetensgevangene, 24 uur per dag in een cel van 20 vierkante meter samen met 13 andere gevangenen.  De dagen slepen zich voort in leeg niets doen. In zijn verslag van het leven in de gevangenis (zie verwijzing hieronder) constateeert hij met enige ironie dat hij nu midden tussen de types zit waartegen hij vroeger thuis 's avonds de grendel van zijn voordeur controleerde: dieven, moordenaars en kinderverkrachters. Hij houdt zich staande dankzij de ervaring dat deze lieden ook onverwachte, bewonderenswaardige karaktereigenschappen blijken te hebben.
Raif heeft een zwakke gezondheid, vanwege het slechte eten en zijn hypertensie. De 50 stokslagen hebben hem geen goed gedaan, maar hij heeft het overleefd, zegt hij. Oorspronkelijk zou hij wekelijks 50 stokslagen krijgen gedurende twintig weken. Ensaf heeft verklaard dat hij dit nooit zou overleven. Verder dan de eerste ranseling is het niet gekomen, officieel vanwege zijn gezondheid, maar waarschijnlijk vanwege de internationale druk waar kennelijk zelfs mensen met een Wahhabistische mentaliteit niet omheen kunnen. Maar het is onduidelijk of de lijfstraf is opgeschort of afgelast. De slagen zweven nog steeds als een inktzwarte dreiging in de bedompte gevangenislucht.
Raif mag geen bezoek ontvangen. Een paar keer per week is het hem toegestaan Ensaf te bellen. Hij praat niet direct over zijn gevoelens. Uit de intonatie leidt ze zijn stemming af. Die is wisselend. Hij heeft weet van de steun die hij in de hele wereld ontvangt. Reporters without Borders en persbureau Deutsche Welle kenden Badawi prijzen toe voor Vrijheid van Meningsuiting.  Dat geeft hem  hoop, die soms weer wegzakt. Hij is op de sombere momenten bang dat hij zijn kinderen twintig jaar niet zal zien vanwege de gevangenisstraf en het aansluitende reisverbod.
In het verzetsmuseum is een vitrine met enige persoonlijke eigendommen van Raif. Enraf heeft tijdens haar vlucht bijna niets mee kunnen nemen. Te zien zijn onder andere brieven en een pen. Als we al symbolische waarde aan die pen willen toekennen in de geest van Raif, ondertekent de Saoedische koning met juist die pen straks wetten die Saoedi-Arabie in een seculiere, tolerante staat omvormen.

De buitenwereld
Badawi heeft het Saoedisch Liberaal Netwerk opgericht. Daarom is 7 mei, de dag van de veroordeling van Raif in 2014  uitgeroepen tot de dag van het liberalisme. Sinds enkele maanden wordt elke vrijdag van twee tot drie uur een demonstratie voor de Saoedische ambassade gehouden, georganiseerd door Amnesty, Op 7 mei werd ook een groot scherm met twitter berichten aan de Saoedisch koning voor de gesloten ramen van de ambassade getoond. Opmerkelijk is dat onlangs onverwacht in de ambassade een twee uur durend gesprek heeft plaats gevonden met vertegenwoordigers van Amnesty. Over de inhoud mochten de betrokkenen geen mededeling doen, behalve dat het gesprek nogal eenrichtingsverkeer was. De Saoedis knikten vooral beleefd. Maar het gesprek geeft  in ieder geval hoop op enige beweging. Amnesty verwacht over geruime tijd uiteindelijk wel resultaat. Medio januari werd bekend dat de Saoedische Hoge Raad zich over de zaak zou buigen, maar dat kan nog maanden duren. Over de invloed van de nieuwe Saoedische koning worden zowel optimistische als pessimistische geluiden vernomen. Hij schijnt gevoelig te zijn voor internationale kritiek maar lijkt ook een conservatieve hardliner. Zijn militaire interventie in Jemen biedt weinig hoop op gematigdheid.
Amnesty probeert ook druk uit te oefenen op regeringen. Ik heb minister Koenders horen zeggen dat er stille diplomatieke acties plaats vinden. Volgens Amnesty en Ensaf  is dit niet genoeg, Nederland moet openlijk een verzoek indienen bij Saoedi Arabie voor de vrijlating van Badawi. Voor onze eigen regering vormen de enorme handelsbelangen een belemmering voor te opzichtig optreden. Aan menselijk leven en lijden zit een prijskaartje. Vaak accepteren we dit als een fact-of-life. Levensreddende medische behandelingen zijn soms te duur voor de belastingbetaler. Echter, in het geval van Raif wringt gelukkig een dergelijke financiële afweging bij veel mensen met het geweten.
Een bezoek van koning Willem-Alexander aan Saoedi-Arabie zou ook kunnen helpen. Ensaf verklaarde met gevoel voor humor dat koningen met elkaar wel ouwe-jongens-krentenbrood kunnen bakken (door mij vrij vertaald uit het Arabisch, dat ik niet machtig ben).

Na de bijeenkomst zat ik met een Amnesty-collega in de aangrenzende uitspanning op het terras onder het genot van een glas wijn  Op een gegeven moment kwam een groepje mensen uit het verzetsmuseum wandelen, waaronder de tolk, vertegenwoordigers van Amnesty en Ensaf. Ze hielden fors de pas erin. Voor de gewone voorbijgangers die tegenover Artis van de lentezon genoten een willekeurig, goedgekleed, multicultureel clubje hoogopgeleiden met een ontspannen lach op hun gezicht, hoewel een van hen wat ernstiger keek.

 Ze moesten eens weten.

Andere informatie
Woensdag 27 mei, 2015 is in de Volkskrant  een interview met Ensaf Haidar gepubliceerd.
Er is pas in Duitsland een boekje uitgegeven onder de auteursnaam Raif Badawi met een verslag van zijn leven in de gevangenis en de blogs waarvoor hij veroordeeld is, geredigeerd en ingeleid door Constantin Schreiber. De Duitse titel luidt: 1000 Peitschenhiebe, verkrijgbaar via bol.com en ibooks. Vertalingen in andere talen, waaronder Nederlands en Engels staan op stapel.


.